Robert Jindra absolvoval Pražskou konzervatoř v oborech klasický zpěv (1999) a dirigování (2003). V roce 2001 nastudoval světovou premiéru oper soudobého skladatele Vladimíra Wimmera Rytíř a smrt a Jelizaweta Bam na scéně Státní opery Praha. Od téhož roku působí v pražském Národním divadle, kde nastudoval například světovou premiéru opery Tomáše Hanzlíka Lacriame Alexandri Magni (Slzy Alexandra Velikého), Smetanovy Dvě vdovy a Mozartovu operu Così fan tutte. V Národním divadle dále dirigoval řadu děl českého i světového operního repertoáru (Smetana – Tajemství, Janáček – Káťa Kabanová, Mozart – Don Giovanni a Figarova svatba, Bizet – Carmen, Verdi – Falstaff ad.).
V letech 2010–2015 byl hudebním ředitelem opery Národního divadla moravskoslezského v Ostravě, kde dosud hudebně nastudoval například Massenetova Werthera, Janáčkovu Její pastorkyni, Věc Makropulos a Káťu Kabanovou; Verdiho Falstaffa a La traviatu, Hindemithova Cardillaca, Pucciniho Bohému, Dvořákovu Armidu, Catalaniho La Wally, Wagnerova Lohengrina nebo Smetanovu Čertovu stěnu. S ostravským operním souborem připravil rovněž mozartovský Galakoncert Adama Plachetky, Galakoncert Evy Urbanové, mimořádný koncert Verdi GALA, Galakoncert Olgy Romanko a Gustava Porty nebo reprezentativní koncert k Roku české hudby 2014 s názvem České operní gala. V únoru 2012 hostoval ve Státním divadle v Košicích, kde nastudoval Janáčkovu operu Její pastorkyňa. Robert Jindra pravidelně spolupracuje například s orchestrem Praga sinfonietta, komorním orchestrem Virtuosi Pragenses, Pražskou komorní filharmonií, Českým národním symfonickým orchestrem, Plzeňskou filharmonií (Smetana, Fibich), Symfonickým orchestrem hlavního města Prahy FOK (Suk, Fauré, Jolivet – sólista Dag Jensen) nebo se Symfonickým orchestrem Českého rozhlasu (Galakoncert Olgy Peretyatko a Štefana Kocána). V rámci Mezinárodního hudebního festivalu Janáčkův máj 2012 dirigoval Galakoncert Feruccia Furlanetta (s orchestrem opery NDM), o rok později ve spolupráci s festivalem a Janáčkovou filharmonií Ostrava připravil mimořádný koncert WAGNER GALA (se sólisty Maidou Hundeling a Tomaszem Koniecznym). V rámci Mezinárodního hudebního festivalu Pražské jaro 2014 byl dirigentem Galakoncertu Adama Plachetky (s Filharmonií Bohuslava Martinů Zlín). V srpnu 2013 byl jmenován hudebním ředitelem Opery pražského Národního divadla, kde následně hudebně nastudoval novou inscenaci Janáčkových Příhod lišky Bystroušky, obnovené premiéry Janáčkovy Její pastorkyně a Smetanovy Libuše a mimořádné koncerty Mozartovy narozeniny (se sólisty Janou Kurucovou a Adamem Plachetkou) a České operní gala. Od září 2021 je rovněž šéfem Státní filharmonie Košice.