Tenorista Josef Moravec vystudoval Pražskou konzervatoř, pokračoval ve studiu na HAMU v Praze a na Sibeliově akademii v Helsinkách.
Je sólistou Národního divadla v Praze ale pravidelně hostuje na jevištích divadla J. K. Tyla v Plzni, Jihočeského divadla v Českých Budějovicích, Národního divadla moravskoslezského v Ostravě, Slezského divadla v Opavě, Libereckého divadla F.X.Šaldy, Národního divadla v Brně i v opeře Štátneho divadla Košice.
Často vystupuje v zahraničí na koncertních i divadelních pódiích.
V jeho pestrém repertoáru najdeme díla od Mozarta, Donizettiho, Verdiho i veristické autory Pucciniho, Cileu nebo Leoncavalla ale také Gounoda, Masseneta, Richarda i Johanna Strausse, Offenbacha, Smetanu, Brittena, Glasse nebo Hindemitha. Účinkoval také ve dvou operách Richarda Wagnera ve Státní opeře Praha ( Lodivod v opeře Bludný Holandˇan a mladý námořník v opeře Tristan a Izolda ). Mezi stěžejní role tohoto tenoristy patří např. Vašek i Jeník v Prodané nevěstě, Števa ( Její Pastorkyňa ), Váňa Kudrjáš ( Káťa Kabanova ), Skuratov ( Z Mrtvého domu ), Mánek ( Eva ), Max ( Čarostřelec ), Nicias ( Thais ), Don Ottavio ( Don Giovanni ), Jurodivý ( Boris Godunov ), Ismaele ( Nabucco ), Rodolfo ( La Bohéme ) a Alfredo ( La Traviata ).
Josef Moravec se často objevuje také v operetních rolích například jako Graf Zedlau ve Vídeňské krvi, Stanislav v Ptáčníkovi, Orfeus, Aristeus a Pluto v Orfeovi v podsvětí, Alfréd i Eisenstein v Netopýrovi, Bolo v Polské krvi, Edwin v Čardášové princezně, Neznámý v Bratránkovy z Batávie, Gaston v Plesu v Opeře, Caramello v Noci v Benátkách nebo Sou Chong v Zemi Úsměvů.
V repertoáru má také dvě hlavní role v méně uváděných dílech J. Offenbacha ( Piquillo v Perikole a Robinson v opeře Robinson Crusoé )
Účinkoval v unikátní inscenaci opery Václava Kašlíka Krakatit v ND. V koncertním provedení opery Aloise Háby Nová Země a též v několika světových premiérách českých soudobých děl např. O.Mácha : Nenávistná láska, E.Viklický : Faidra, M.Smolka : Nagano, P.Kofroň : Mai 68, N.Sheriff : Golem 13 a řada dalších.
Na hudebním festivalu v Českém Krumlově vystoupil po boku Josého Cury jako Harlekýn v Leoncavallových Komediantech.
V roce 2016 se stal držitelem ceny ředitele ND pro mladého umělce.